Pada tahap Eksplorasi Konsep, kalian akan mempelajari bagaimana suatu pola berkembang dari satu suku ke suku berikutnya. Kalian tidak hanya menghafalkan rumus, tetapi juga memahami hubungan antarbilangan, menemukan pola perubahan, dan menggunakannya untuk memprediksi suku tertentu.

🎯 Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kalian diharapkan mampu:

1. Mengenali dan menentukan pola bilangan.
2. Menentukan suku berikutnya dari suatu pola.
3. Menentukan suku ke-$n$ pada barisan aritmatika.
4. Menentukan jumlah $n$ suku pertama deret aritmatika.
5. Menentukan suku ke-$n$ pada barisan geometri.
6. Menentukan jumlah $n$ suku pertama deret geometri.
7. Menerapkan barisan dan deret untuk menyelesaikan masalah kontekstual.

1. POLA BILANGAN

🔎 Apa Itu Pola Bilangan?

Perhatikan barisan berikut:

2, 4, 6, 8, 10, ...

Coba amati perubahan dari satu bilangan ke bilangan berikutnya.

• 2 → 4 bertambah 2
• 4 → 6 bertambah 2
• 6 → 8 bertambah 2
• 8 → 10 bertambah 2

Ternyata terdapat aturan tertentu yang digunakan untuk membentuk bilangan berikutnya.

Pola bilangan adalah keteraturan dalam susunan bilangan yang memungkinkan kita menentukan bilangan berikutnya atau menemukan hubungan umum dari susunan tersebut.

💡 Contoh Pola Bilangan

Pola 1

3, 6, 9, 12, 15, ...

Pola:

setiap suku bertambah 3.

Suku berikutnya:

18, 21, ...

Pola 2

1, 4, 9, 16, 25, ...

Perhatikan:

1=1²

4=2²

9=3²

16=4²

25=5²

Sehingga pola tersebut dapat dituliskan:

1²,2²,3²,4²,5²,…

Suku berikutnya adalah:

6²=36

🧠 Cara Mengenali Pola

Ketika menemukan suatu pola bilangan, coba lakukan:

Langkah 1: Tuliskan beberapa suku.

Langkah 2: Bandingkan suku yang berurutan.

Langkah 3: Cari perubahan yang terjadi.

Langkah 4: Tentukan aturan polanya.

Langkah 5: Gunakan aturan tersebut untuk memprediksi suku berikutnya.

2. BARISAN ARITMATIKA

🔎 Apa Itu Barisan Aritmatika?

Perhatikan:

5, 8, 11, 14, 17, ...

Coba hitung selisih setiap dua suku yang berurutan.

$$8-5=3$$

$$11-8=3$$

$$14-11=3$$

$$17-14=3$$

Selisihnya selalu sama, yaitu 3.

Barisan seperti ini disebut barisan aritmatika.

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang memiliki selisih tetap antara dua suku yang berurutan.

Selisih tetap tersebut disebut beda, dilambangkan dengan b.

📌 Rumus Suku ke-$n$

Jika:

• $a$ = suku pertama
• $b$ = beda
• $n$ = nomor suku
• a_n​ = suku ke-$n$

maka:

a_n​=a+(n−1)b

3. DERET ARITMATIKA

🔎 Apa Perbedaan Barisan dan Deret?

Perhatikan:

Barisan

3, 6, 9, 12, 15, ...

Barisan adalah susunan suku-suku bilangan.

Deret

3 + 6 + 9 + 12 + 15 + ...

Deret adalah penjumlahan suku-suku pada suatu barisan.

Barisan → susunan bilangan

Deret → penjumlahan bilangan dalam barisan

📌 Rumus Deret Aritmatika

Jumlah $n$ suku pertama deret aritmatika dapat ditentukan dengan:

S_n​=(n/2)(a+a_n​)​

atau:

S_n​=(n/2)​[2a+(n−1)b]​

Keterangan:

• S_n​ = jumlah $n$ suku pertama
• $a$ = suku pertama
• a_n​ = suku ke-$n$
• $b$ = beda
• $n$ = banyak suku

​

4. BARISAN GEOMETRI

Sekarang perhatikan barisan berikut:

2, 6, 18, 54, 162, ...

Apakah selisihnya tetap?

Tidak.

Coba bandingkan dengan pembagian:

6/2​=3

18/6​=3

54/18​=3

162/54​=3

Ternyata setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan yang sama, yaitu 3.

Bilangan tersebut disebut rasio, dilambangkan dengan $r$.

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio tetap antara dua suku yang berurutan.

📌 Rumus Suku ke-$n$

Jika:

• $a$ = suku pertama
• $r$ = rasio
• $n$ = nomor suku
• a_n​ = suku ke-$n$

maka:

a_n​=arⁿ⁻¹

5. DERET GEOMETRI

Jika suku-suku pada barisan geometri dijumlahkan, maka terbentuk deret geometri.

Contoh:

Barisan:

2, 4, 8, 16, 32, ...

menjadi deret:

2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ...

📌 Rumus Deret Geometri

Jumlah $n$ suku pertama deret geometri dapat ditentukan dengan:

S_n​=(a(rⁿ−1))/(r-1)​​

untuk $r>1$.

Bentuk lain yang setara:

Sn​=(a(1−rⁿ))/(1-r)​​

untuk $r\ne 1$.

Keterangan:

• S_n​ = jumlah $n$ suku pertama
• $a$ = suku pertama
• $r$ = rasio
• $n$ = banyak suku

​